数组是存放在连续内存空间上的相同类型数据的集合。

数组可以方便的通过下标索引的方式获取到下标下对应的数据。

举一个字符数组的例子，如图所示：

需要两点注意的是

• 数组下标都是从0开始的。
• 数组内存空间的地址是连续的

正是因为数组的在内存空间的地址是连续的，所以我们在删除或者增添元素的时候，就难免要移动其他元素的地址。

例如删除下标为3的元素，需要对下标为3的元素后面的所有元素都要做移动操作，如图所示：

而且大家如果使用C++的话，要注意vector 和 array的区别，vector的底层实现是array，严格来讲vector是容器，不是数组。

数组的元素是不能删的，只能覆盖。

那么二维数组直接上图，大家应该就知道怎么回事了

接下来说一下链表的几种类型:

了解完链表的类型，再来说一说链表在内存中的存储方式。

数组是在内存中是连续分布的，但是链表在内存中可不是连续分布的。

链表是通过指针域的指针链接在内存中各个节点。

所以链表中的节点在内存中不是连续分布的 ，而是散乱分布在内存中的某地址上，分配机制取决于操作系统的内存管理。

如图所示：

这个链表起始节点为2， 终止节点为7， 各个节点分布在内存的不同地址空间上，通过指针串联在一起。

平时在刷leetcode的时候，链表的节点都默认定义好了，直接用就行了

而在面试的时候，一旦要自己手写链表，如果不定义构造函数使用默认构造函数的话，在初始化的时候就不能直接给变量赋值！

public class ListNode {
    // 结点的值
    int val;

    // 下一个结点
    ListNode next;

    // 节点的构造函数(无参)
    public ListNode() {
    }

    // 节点的构造函数(有一个参数)
    public ListNode(int val) {
        this.val = val;
    }

    // 节点的构造函数(有两个参数)
    public ListNode(int val, ListNode next) {
        this.val = val;
        this.next = next;
    }
}
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再把链表的特性和数组的特性进行一个对比，如图所示：

数组在定义的时候，长度就是固定的，如果想改动数组的长度，就需要重新定义一个新的数组。

链表的长度可以是不固定的，并且可以动态增删， 适合数据量不固定，频繁增删，较少查询的场景。

哈希函数，把学生的姓名直接映射为哈希表上的索引，然后就可以通过查询索引下标快速知道这位同学是否在这所学校里了。

哈希函数如下图所示，通过hashCode把名字转化为数值，一般hashcode是通过特定编码方式，可以将其他数据格式转化为不同的数值，这样就把学生名字映射为哈希表上的索引数字了。

如果hashCode得到的数值大于 哈希表的大小了，也就是大于tableSize了，怎么办呢？

此时为了保证映射出来的索引数值都落在哈希表上，我们会在再次对数值做一个取模的操作，就要我们就保证了学生姓名一定可以映射到哈希表上了。

此时问题又来了，哈希表我们刚刚说过，就是一个数组。

如果学生的数量大于哈希表的大小怎么办，此时就算哈希函数计算的再均匀，也避免不了会有几位学生的名字同时映射到哈希表 同一个索引下标的位置。

接下来哈希碰撞登场

当我们想使用哈希法来解决问题的时候，我们一般会选择如下三种数据结构。

• 数组
• set （集合）
• map(映射)

这里数组就没啥可说的了，我们来看一下set。

在C++中，set 和 map 分别提供以下三种数据结构，其底层实现以及优劣如下表所示：

std::unordered_set底层实现为哈希表，std::set 和std::multiset 的底层实现是红黑树，红黑树是一种平衡二叉搜索树，所以key值是有序的，但key不可以修改，改动key值会导致整棵树的错乱，所以只能删除和增加。

std::unordered_map 底层实现为哈希表，std::map 和std::multimap 的底层实现是红黑树。同理，std::map 和std::multimap 的key也是有序的（这个问题也经常作为面试题，考察对语言容器底层的理解）。

当我们要使用集合来解决哈希问题的时候，优先使用unordered_set，因为它的查询和增删效率是最优的，如果需要集合是有序的，那么就用set，如果要求不仅有序还要有重复数据的话，那么就用multiset。

那么再来看一下map ，在map 是一个key value 的数据结构，map中，对key是有限制，对value没有限制的，因为key的存储方式使用红黑树实现的。

其他语言例如：java里的HashMap ，TreeMap 都是一样的原理。可以灵活贯通。

虽然std::set、std::multiset 的底层实现是红黑树，不是哈希表，std::set、std::multiset 使用红黑树来索引和存储，不过给我们的使用方式，还是哈希法的使用方式，即key和value。所以使用这些数据结构来解决映射问题的方法，我们依然称之为哈希法。 map也是一样的道理。

这里在说一下，一些C++的经典书籍上 例如STL源码剖析，说到了hash_set hash_map，这个与unordered_set，unordered_map又有什么关系呢？

实际上功能都是一样一样的， 但是unordered_set在C++11的时候被引入标准库了，而hash_set并没有，所以建议还是使用unordered_set比较好，这就好比一个是官方认证的，hash_set，hash_map 是C++11标准之前民间高手自发造的轮子。

总结一下，当我们遇到了要快速判断一个元素是否出现集合里的时候，就要考虑哈希法。

但是哈希法也是牺牲了空间换取了时间，因为我们要使用额外的数组，set或者是map来存放数据，才能实现快速的查找。

如果在做面试题目的时候遇到需要判断一个元素是否出现过的场景也应该第一时间想到哈希法！

树的种类很多，包括二叉树、二叉查找树、AVL树、红黑树、B树、B+树等。它们有各自的应用场景。

• 二叉树，顾名思义，就是有两个子树的树数据结构。
• 二叉查找树要求左子树的值均小于根节点，右子树的值均大于于根节点的值。
  二叉查找树在最坏的情况下就是会退化成一个有n个节点的线性链表。
• 在二叉查找树的基础上，进一步做限制，这也就出现了AVL树（严格平衡的二叉查找树，要求左右子树树高不超过1）、红黑树（弱平衡二叉树，效率较AVL树高，常用于实现关联数组dict）。
  B树和B+树都是多叉树，常用于操作系统的文件索引和数据库索引。
  

可见二叉树只是树的一个简单形式，但是二叉树在树结构中有非常重要的地位，二叉树的许多操作都可以泛化至其他类型的树上。从出题的角度而言，二叉树的频率也是最高的。

树的遍历其实就两种：广度和深度

树是一种特殊的图，度是相对于树节点而言的概念
树的“度”通常指的是树中任意节点的子节点数
树中节点的度描述如下：

• 根节点的度为0或1（如果它有一个子节点）。
• 内部节点的度至少为1（它们有至少一个子节点）。
• 叶子节点的度为0（它们没有子节点）。

在我们解题过程中二叉树有两种主要的形式：满二叉树和完全二叉树。

二叉树可以链式存储，也可以顺序存储。

那么链式存储方式就用指针， 顺序存储的方式就是用数组。

顾名思义就是顺序存储的元素在内存是连续分布的，而链式存储则是通过指针把分布在各个地址的节点串联一起。

链式存储如图：

链式存储是大家很熟悉的一种方式，那么我们来看看如何顺序存储呢？

其实就是用数组来存储二叉树，顺序存储的方式如图：

用数组来存储二叉树如何遍历的呢？

如果父节点的数组下标是 i，那么它的左孩子就是 i *2 + 1，右孩子就是 i* 2 + 2。

但是用链式表示的二叉树，更有利于我们理解，所以一般我们都是用链式存储二叉树。

所以大家要了解，用数组依然可以表示二叉树。

关于二叉树的遍历方式，要知道二叉树遍历的基本方式都有哪些。

一些同学用做了很多二叉树的题目了，可能知道前中后序遍历，可能知道层序遍历，但是却没有框架。

我这里把二叉树的几种遍历方式列出来，大家就可以一一串起来了。

二叉树主要有两种遍历方式：

1. 深度优先遍历：先往深走，遇到叶子节点再往回走。
2. 广度优先遍历：一层一层的去遍历。

这两种遍历是图论中最基本的两种遍历方式，后面在介绍图论的时候 还会介绍到。

那么从深度优先遍历和广度优先遍历进一步拓展，才有如下遍历方式：

• 深度优先遍历
  • 前序遍历（递归法，迭代法）
  • 中序遍历（递归法，迭代法）
  • 后序遍历（递归法，迭代法）
• 广度优先遍历
  • 层次遍历（迭代法）

在深度优先遍历中：有三个顺序，前中后序遍历， 有同学总分不清这三个顺序，经常搞混，我这里教大家一个技巧。

这里前中后，其实指的就是中间节点的遍历顺序，只要大家记住 前中后序指的就是中间节点的位置就可以了。

看如下中间节点的顺序，就可以发现，中间节点的顺序就是所谓的遍历方式

• 前序遍历：中左右
• 中序遍历：左中右
• 后序遍历：左右中

大家可以对着如下图，看看自己理解的前后中序有没有问题。

最后再说一说二叉树中深度优先和广度优先遍历实现方式，我们做二叉树相关题目，经常会使用递归的方式来实现深度优先遍历，也就是实现前中后序遍历，使用递归是比较方便的。

之前我们讲栈与队列的时候，就说过栈其实就是递归的一种实现结构，也就说前中后序遍历的逻辑其实都是可以借助栈使用非递归的方式来实现的。

而广度优先遍历的实现一般使用队列来实现，这也是队列先进先出的特点所决定的，因为需要先进先出的结构，才能一层一层的来遍历二叉树。

这里其实我们又了解了栈与队列的一个应用场景了。

具体的实现我们后面都会讲的，这里大家先要清楚这些理论基础。

刚刚我们说过了二叉树有两种存储方式顺序存储，和链式存储，顺序存储就是用数组来存，这个定义没啥可说的，我们来看看链式存储的二叉树节点的定义方式。

C++代码如下：

public class TreeNode {
    int val;
  	TreeNode left;
  	TreeNode right;
  	TreeNode() {}
  	TreeNode(int val) { this.val = val; }
  	TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
    		this.val = val;
    		this.left = left;
    		this.right = right;
  	}
}
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大家会发现二叉树的定义 和链表是差不多的，相对于链表 ，二叉树的节点里多了一个指针， 有两个指针，指向左右孩子。

这里要提醒大家要注意二叉树节点定义的书写方式。

在现场面试的时候 面试官可能要求手写代码，所以数据结构的定义以及简单逻辑的代码一定要锻炼白纸写出来。

因为我们在刷leetcode的时候，节点的定义默认都定义好了，真到面试的时候，需要自己写节点定义的时候，有时候会一脸懵逼！

二叉树是一种基础数据结构，在算法面试中都是常客，也是众多数据结构的基石。

说到二叉树，就不得不说递归，很多同学对递归都是又熟悉又陌生，递归的代码一般很简短，但每次都是一看就会，一写就废。

题目分类大纲如下：